Ukuran Nilai Pusat
Saturday, December 8, 2018
Add Comment
A. PENDAHULUAN
Dalam keperluan
penganalisaan data lebih lanjut di perlukan juga ukuran-ukuran yang dapat
mewakili data tersebut, sehingga dapat di ucapkan dengan singkat serta dapat digunakan
untuk membandingkan keadaan berbagai kelompok data.
Nilai Tunggal yang
dianggap dapat mewakili keseluruhan nilai dalam sebuah data dianggap sebagi
rata-rata (averages) , dikarenakan nilai rata-rata itu dihitung berdasarkan
keseluruhan nilai yang terdapat dalam data yang bersangkutan.
Ukuran Nilai pusat iyalah ukuran yang dapat
diwakili data secara keseluruhan(universal) , artinya , jika keseluruhan nilai
yang ada dalam data tersebut diurutkan besarnya serta selanjutnya dimasukkan
nilai rata-ratanya ke dalam, nilai rata-rata tersebut memiliki kecenderungan
(tendesi ) terletak di urutan paling tengah atau pusat.
Latihan Soal !
1. Sebutkan pengertian dari ukuran nilai pusat ?
2. Sebutkan Nilai Tunggal itu apa?
3.
Bagaimana cara
menghitung ukuran nilai pusat ?
B.
JENIS-JENIS UKURAN NILAI PUSAT
1.
Nilai Rata-rata Hitung
(Mean)
Menurut
Sudijono, Anas (2008:79), seperti telah dikemukakan terdahulu, dalam bahasa
Inggris Nilai Rata-rata Hitung dikenal dengan istilah Arithmetic Mean, atau sering disingkat dengan Mean saja.umtuk
ringkas kata, dalam buku ini istilah yang akan dipakai pada dasarnya adalah
Mean.
Sebagai
salah satu ukuran terdensi pusat, Mean dikenal sebagai ukuran yang menduduki
tempat terpenting jika dibandingkan dengan ukuran terdensi pusat lainnya. Dalam
kegiatan penelitian ilmiah yang menggunakan statistic sebagai metode analisis
data, Mean dapat dikatakan hamper selalu dipergunakan atau dihitung. Dalam
kehidupan sehari-hari pun, dengan sadar atau tidak, sebenarnya kebanyakan orang
telah menggunakan sebagai salah satu ukuran. Apakah sebenarnya yang dimaksud
dengan Mean itu?
a.
Pengertian Mean
Menurut
Sudijono, Anas (2008:79), secara singkat pengertian tentang Mean dapat
dikemukakan sebagai berikut: Mean
dari sekelompok (sederetan) angka (bilangan) adalah jumlah dari keseluruhan
angka (bilangan) yang ada, dibagi dengan kebanyakan angka (bilangan)
tersebut.
Untuk lebih jelasnya dapat dikemukakan contoh
sebagai berikut: Misalnya seorang Siswa Madrasah Aliyah memiliki nilai hasil
ulangan dalam bidang studi Matematika, Pendidikan Kewarganegaraan, Bahasa
Indonesia, Bahasa Inggris, Ilmu Pengetahuan Sosial dan Ilmu Pengetahuan Alam
berturut-turut: 8, 9, 7, 4, 6, dan 5. Untuk memperolah Mean nilai hasil ulangan
tersebut, keenam butir nilai yang ada itu kita jumlahkan, lalun kita bagi
dengan banyaknya nilai tersebut, yaitu: (8 + 9 + 7 + 4 + 6 + 5) : 6 atau
Jika keenam bilangan tersebut kita lambangkan dengan
,
,
,
,
dan
, sedangkan banyaknya
nilai itu kita lambangkan dengan N, maka Mean dari keenam butir nilai tersebut
adalah :
Apabila kita rumuskansecara umum, maka:
Atau dapat disingkat menjadi:
Inilah
rumus umum atau rumus dasar untuk mencari atau menghitung Mean. Sudijono, Anas
(2008:76).
b.
Cara Mencari Mean
Menurut
Sudijono, Anas (2008:81), mencari Mean dapat dilakukan dengan berbagai macam
cara; tergantung dari data yang akan dicari Mean nya itu; apakah Data Tunggal
ataukah Data Kelompokkan.
1)
Cara mencari Mean untuk
Data Tunggal
Ada dua macam cara yang dapat digunakan untuk
mencari Mean dari Data Tunggal (data yang tidak dikelompokkan), yaitu: (1) Cara
mencari Mean dari Data Tunggal yang seluruh skornya berfrekuensi satu, dan (2)
Cara Mencari Mean dari Data Tunggal di mana sebagian atau seluruh skornya berfrekuensi
lebih dari satu.
a)
Cara Mencari Mean Data
Tunggal, yang seluruh skornya berfrekuensi satu
(1) Rumus
yang digunakanRumus yang kita gunakan untuk mencari Mean Data Tunggal yang
seluruh skornya berfrekuensi satu adlah (seperti telah dicantumkan diatas) :
Keterangan
:
= Mean yang kita cari
(2)
Contoh
Jika nilai hasil
ulangan seorang Siswa MAN tadi kita hitung Mean nya dengan menggunkan Tabel
Distribusi Frekuensi, maka proes perhitungannya adalah sebagai berikut:
X
|
F
|
9
8
7
6
5
4
|
1
1
1
1
1
1
|
39 =
|
6 = N
|
TABEL 3.1. Perhitungan
Mean Nilai Hasil Ulangan Harian dalam Bidang Studi Matematika, Pendidikan
Kewarganegaraan, Bahasa Indonesia, Baha Inggris, IPS, IPA Seorang Siswa
Madrasah Aliyah Negeri.
Dari
Tabel 3.1 telah kita peroleh:
= 39, sedangkan N = 6, Dengan demikian:
b)
Cara Mencari Mean Data
Tunggal yang Sebagian atau Seluruh Skornya Berfrekuensi Lebih dari Satu.
(1) Rumus
yang digunakan
Karena Data Tunggal
yang akan kita hitung Mean nya baik sebagian atau seluruh skornya berfrekuensi
lebih dari satu, maka rumus untuk mencari Mean seperti yang telah dikemukakan
diatas perlu dimodifikasi, yaitu dengan jalan memasukkan atau mengikutsertakan
frekuensi skor yang ada kedalam rumus. Dengan demikian rumus diatas berubah
menjadi :
(2) Contoh
Dalam
Evaluasi Belajar Thap Akhir (EBTA) bidang studi Matematika, yang diikuti 100 orang
siswa kelas terakhir PGA Negeri, diperoleh Nilai hasil EBTA sebagai mana
tertera pada Tabel 3.2.
Dapat
dilihat bahwa sebagian besar nilai hasil EBTA itu berfrekuensi lebih dari satu.
Untuk memperoleh Mean dari data semacam itu, tiap-tiap skor atau nilai yang ada
terlebih dahulu harus dikalikan dengan frekuensinya masing-masing setelah itu
dijumlahkan, dan akhirnya dibagi dengan N. dengan demikian kita perlu
menyiapkan tabel perhitungannya.
TABEL 3.2. Nilai Hasil
EBTA Bidang studi Matematika,
dari Sejumlah 100 Orang Siswa Kelas Terakhir PGA Negeri
Nilai
(X)
|
Frekuensi
(f)
|
10
9
8
7
6
5
4
3
2
|
1
2
4
20
35
22
11
4
1
|
Total
|
100
= N
|
Yang terdiri dari tiga
kolom. Pada kolom 1 kita muat nilai hasil EBTA
yang akan kita cari Mean nya, kolom 2 memuat frekuensi masing-masing
nilai hasil EBTA tersebut, sedangkan pada kolom 3 kita muat hasil perkalian tiap-tiap skor
(nilai) yang ada dengan frekuensinya masing-masing. Perhatikan Tabel 3.3.
TABEL. 3.3. Tabel
Perhitungn untuk Mencari Mean Nilai Hasil EBTA Bidang Studi Matematika, yang
diikuti oleh 100 Orang Siswa Kelas Terakhir PGA Negeri.
X
|
F
|
fX
|
10
9
8
7
6
5
4
3
2
|
1
2
4
20
35
22
11
4
1
|
10
18
32
140
210
110
44
12
2
|
Total
|
100 = N
|
578 =
|
Dari
Tabel 3.3. telah berhasil kita peroleh:
fX = 578, sedangkan N telah kita ketahui =
100. Dengan demikian Mean dapat kita peroleh dengan mudah, dengan menggunakan
rumus:
=
Maka:
=
=
= 5,780 atau 5,78
2)
Cara Mencari Mean untuk
Data Kelompokkan
Untuk Data Kelompokkan
Mean dapat diperoeh dengan menggunakan dua metode, yaitu Metode Panjang dan Metode
Singkat.
a)
Mencari Mean Data
Kelompokkan dengan Menggunakan Metode Panjang
Pada perhitungan Mean
yang menggunakan metode panjang, semua kelompokkan data (interval) yang ada
terlebih dahulu dicari Nilai Tengah atau Midpoint-Nya.
Setelah itu, tiap Midpoint diperkalikan
dengan frekuensi yang dimiliki oleh masing-masing interval yang bersangkutan.
(1) Rumus
yang digunakan
Rumua
Mean dengan Metode Panjang adalah sebagai berikut:
Keterangan
:
= Mean yang kita cari
(2) Contoh
Dalam tes seleksi
penerimaan siswa baru SMA swasta yang diikuti 800 orang calon, diperolehNilai
Hasil Tes Bidang Studi Matematikasebagai berikut(lihat Tabel 3.4).
Langkah yang harus
ditempuh dalam mencari Mean dari data kelompokkan dengan menggunakan Metode
Panjang adalah:
a)
Menetapkan (menghitung)
Nilai Tengah (Midpoint) masing-masing
interval (Lihat 3 Tabel 3.5.), diberi lambing X.
b)
Memperkalikan frekuensi
masing-masing interval, dengan Midpoint-nya,
atau f dikalikan dengan X (Lihat kolom 4 Tabel 3.5), sehingga diperoleh fX.
c)
Menjumlahkan fX,
sehingga diperoleh fX.
d) Menghitung
Mean nya dengan rumus:
Interval Nilai
|
F
|
75 – 79
70 – 74
65 – 69
60 – 64
55 – 59
50 – 54
45 – 49
40 – 44
35 – 39
30 – 34
|
8
16
32
160
240
176
88
40
2
8
|
Total :
|
800 = N
|
TABEL 3.4. Nilai Hasil
Tes Seleksi Bidang Studi Matematika dari sejumlah 800 orang calon yang
mengikuti tes seleksi penerimaan calon siswa pada sebuah SMA swasta
TABEL 3.5. Perhitungan
Mean Data yang tertera Pada Tabel 3.4. Dengan Menggunakan Metode Panjang
Interval
Nilai
|
F
|
X
|
fX
|
75
– 79
70
– 74
65
– 69
60
– 64
55
– 59
50
– 54
45
– 49
40
– 44
35
– 39
30
– 34
|
8
16
32
160
240
176
88
40
2
8
|
77
72
67
62
57
52
47
42
37
32
|
616
1152
2144
9920
13680
9152
4136
1680
1184
256
|
Total
:
|
800
= N
|
-
|
43920
=
|
Dari Tabel 3.5 telah
kita peroleh
fX = 43920, adapun N = 800. Dengan demikian:
Seperti dapat kita
amati dan rasakn, maka dalam proses perhitungan untuk mencari Mean Data
Kelompokkan dengan menggunakan Metode Panjang, kita bekerja dengan bilangan
yang cukup besar. Karena itu jika dalam perhitungan kita tidak dibantu oleh
mesin hitung atau kalkulator, amak di samping sangat diperlukan ketelitian,
risiko kesalahan yang kita hadapipun cukup besar. Itulah sebabnya para ahli
statistic mengemukakan cara lain yang lebih praktis, dalam arti: perhitungan
dapat dilakukan dengan lebih cepat dan mudah, dengan risiko kesalahan yang
kecil.
b)
Mencari Mean data
Kelompokkan dengan Menggunakan Metode Singkat
(1) Rumus
yang digunakan
Jika
dalam penghitungan mean digunakan metode, maka rumus yang digunakan adalah
sebagai berikut:
buatan sendiri dengan
frekuensi dari masing-masing interval
(2)
Contoh
Jika mialnya data yang
disajiakan pada Tabel Tabel 3.4. kita cari Mean nya dengan menggunakan Metode
Singkat, makan proses perhitungan dan langkah perhitungannya adalah (lihat
Tabel 3.6)
Langkah 1: Mencari Mean
Terkaan Sendiri atau Mean Taksiran Sendiri (yaitu
). Dalam menetapkan
dapat kita tempu cara:
(a)
Memilih satu Midpoint
di antara Midpoint yang ada dalam tabel Distribusi Frekuensi, yaitu Midpoint
dari interval niali yang memiliki frekuensi tertinggi (terbesar). Seperti dapat
kita lihat pada Tabel 3.6, interval nilai yang memiliki frekuensi tertinggi
adalah interval 55 – 59 degan frekuensi = 240. Dengan demikian, Midpoint yang
kita pilih sebagai Mean Terkaan (
) dalah 57
TABEL 3.6. perhitungan
Mean Data yang Disajikan Pada Tabel 3.4. dengan menggunakan Metode Singkat
Interval
Nilai
|
F
|
X
|
f
|
|
75
– 79
70
– 74
65
– 69
60
– 64
55
– 59
50
– 54
45
– 49
40
– 44
35
– 39
30
– 34
|
8
16
32
160
240
176
88
40
2
8
|
77
72
67
62
57
52
47
42
37
32
|
+ 4
+ 3
+ 2
+ 1
0
1
2
3
4
5
|
+
32
+
48
+
64
+
160
0
176
176
120
128
40
|
800
= N
|
-
|
-
|
-
336 =
|
(b)
Cara lain ialah, dengan
memilih satu diantara midpoint yang adapada tabel distribusi frekuensi, yang
terletak di tengah-tengah deretan ingterval nilai dalam tabel ditribusi
frejuensi tersebut. Karena banyaknya deretan ingterval dalam Tabel 3.6 itu ada
12 baris, maka mispoint yang dapat kita pilih sebagai mean Terkaan adalah
midpoint nomor ke (12 : 2, atau no ke-6 , baik nomor ke-6 dari bawah atau nomor
ke-6 dari atas. Jika yang kita pilih badalah midpoint nomor ke-6 dari bawah,
maka Mean Terkaan kita adalah = 57. Apabila yang kita sebagai Mean terkaaan
adalah midpoint nomor ke-6 dari tas, maka Mean Terkaan kita itu adalah 52.
Dalam
contoh diatas, kita telah menetapkan M = 57.
Langkah II : Menetapkan
x’ (titik tengah buatan kita sendiri). Caranya adalah sebagai berikut
:disebelah kanan M’ yang telah kita pilih atau kita tetapkan itu (lihat kolom 3
tabel 3.6), kita cantumkan angka nol. selanjutnya secara berturut-turut diatas
nol kita tukiskan : +1 , +2 , +3 , dan +4; sedangkan dibawah nol secara
berturut-turut kita tuliskan : -1 , -2 , -3 , -4 , dan -5.
Langkah
III :
Memperkalikan frekuensi dari masing-masing interval, dengan x’ ( jadi f
dikalikan dengan x’ = fx’) seperti
dapat dilihat pada kolom 5 tabel 3.6. setelah perkalian dapat diselesaikan,
lalu dijumlahkan. dalam tabel 3.6 kita peroleh ∑ fx’ = -336.
Langkah
IV :
Menghitung Mean-nya, dengan menggunakan rumus
Mx = Mean
M’ = Mean Terkaan atau Mean Taksiran
i = Kelas Interval
∑ fx’ = Jumlah pekalian antara titik tengah dan frekuensi
N = Number of Cases
Karena M’, i, fx’, dan N telah kita
ketahui (yaitu M’ = 57, i = 5, ∑ fx’ = -336, dan N = 800), maka dengan
mensubsitusikannya ke dalam rumus di atas, dapat kita peroleh Mean-nya:
Dengan rumus atau metode singkat
ternyata Mean yang kita peroleh adalah persis sama dengan Mean yang kita
peroleh dengan menggunakan metode panjang, yaitu: M = 54,90.
Dapat kita amati dan kita rasakan bahwa
dengan menggunakan metode singkat, perhitungan dapat berjalan dengan cepat,
resiko kesalahan hitung dapat ditekan seminimal mungkin (sebab di sini kita
tidak berhadapan dengan bilangan yang besar), sedangkan hasilnya sama persis.
c.
Penggunaan Mean
Menurut Sudijono, Anas
(2008:91), sebagai salah satu Ukuran Rata-rata, Mean kita gunakan apabila kita
berhadapan dengan kenyataan seperti dikemukakan berikut ini :
1) Bahwa
data statistik yang kita hadapi merupakan data yang distribusi frekuensinya
bersifat normal atau simetris; setidak-tidaknya mendekati normal. Jadi, apabila
data ststistik yang kita hadapi bersifat asimetris,
maka untuk mencari Nilai Rata-rata data yang demikian itu hendaknya jangan
menggunakan Mean, sebab Nilai Rata-rata yang diperoleh nantinya akan jauh
menyimpang dedari kenyataan yang sebenarnya.
2)
Bahwa dalam kegiatan analisis data, kita menghendaki kadar
kemantapan atau kadar kepercayaan setinggi mungkin. seperti dapat kita amati
pada perhitungan Mean yang telah dikemukakan contohnya, maka Mean yang kita
peroleh adalah hasil dari perhitungan yang dilakukan terhadap semua angka,
tanpa kecuali; karena itu, sebagai ukuran rata-rata, Mean cukup dapat
diandalkan, atau memilik reliabilitas yang tinggi.
3)
Bahwa dalam menganalisis data selanjutnya, terhadap dat yang sedang kita hadapi
atau kita teliti itu, akan kita kenai ukuran-ukuran statistik selain Mean,
misalnya: deviasi rata-rata, deviasi standar, korelasi dan sebagainya, seperti
akan dikemukakan dalam pembicaraan pada bab-bab berikutnya nanti.
2.
Nilai
Rata-rata Pertengahan (Median)
Ukuran rata-rata kedua
yang akan kita pelajari adalah Median, yang-seperti telah dikemukakan dalam
pembicaraan terdahulu-sering dikenal dengan istilah: Nilai Rata-rata
Pertengahan atau Nilai Rata-rata Letak, atau Nilai Posisi Tengah, yang biasa
diberi lambang: Mdn, Me atau Mn. Dalam pembicaraan selanjutnya akan digunakan
lambang: Mdn.
a.
Pengertian Nilai Rata-rata Pertengahan
(Median)
Menurut
Sudijono, Anas (2008:93), yang dimaksud dengan Nilai Rata-rata Pertengahan atau
Median adalah suatu nilai atau suatu angka yang membagi suatu distribusi data ke dalam dua
bagian yang sama besar. Dengan kata lain, Nilai Rata-rata Pertengahan atau
Median adalah nilai atau angka yang di atas nilai atau angka tersebut terdapat
1/2N dan dibawahnya juga terdapat 1/2N. Itulah sebabnya Nilai Rata-rata ini
dikenal sebagai Nilai Pertengahan atau Nilai Posisi Tengah, yaitu nilai yang
menunjukkan pertengahan dari suatu distribusi data.
b.
Cara
Mencari Nilai Rata-rata Pertengahan
Ada beberapa cara untuk mencari Nilai
Rata-rata Pertengahan, seperti dapat diikuti pada uraian berikut ini.
1)
Cara
Mencari Nilai Rata-rata Pertengahan untuk Data Tunggal
Dalam mencari Nilai Rata-rata
Pertengahan untuk data tunggal ini ada dua kemungkinan yang kiata hadapi.
Kemungkinan pertama ialah dat tunggal itu seluruh skornya berfrekuensi 1;
sedangkan kemungkinan kedua, bahwa data tunggal yang akan kita cari Nilai
Rata-rata Pertengahannya itu sebagian atau seluruh skornya berfrekunsi lebih
dari 1.
a) Mencari
Nilai Rata-rata Pertengahan Data Tunggal yang Seluruh Skornya
Berfrekuensi 1
Disini pun kita berhadapan dengan dua
kemungkinan, yaitu: (1) data tunggal yang seluruh skornya berfrekuensi 1,
number of cases-nya merupakan bilangan gasal (ganjil), dan (2) data tunggal
yang seluruh skornya berfrekuensi itu, number of cases-nya merupakan bilangan
genap ( bukan bilangan gasal).
(i) Mencari nilai rata-rata
pertengahan untuk data tunggal yang seluruh skornya berfrekuensi 1
dan number of caess-nya berupa bilangan gasal.
Untuk
data tunggal yang seluruh skornya berfrekuensi 1 dan number of cases-nya
bilangan gasal (yaitu: M = 2m + 1 ), maka median data yang demikian itu
terletak pada bilngan yang ke (n+1).
contoh : 9 orang mahasiswa menempuh
ujian lisan dala mata kuliah teknik evaluasi pendidikan. Niali mereka adalah
sebagai berikut: 65 75 60 70 55 50 80 40 30. Untuk mengetahui nilai berapakah
yang merupakan Nilai Rata-rata Pertengahan atau Median dari kumpulan nilai
hasil ujian tersebut, pertama-tama deretan itu kita atur mulai dari nilai
terendah sampai nilai tertinggi:
30 40 50 55 60 65 70 75
80
kita lihat dalam deretan nilai di atas,
bilangan ke-1 adalah 30, bilangan ke-2 = 40, bilangan ke-3 = 50, bilangan ke-4
= 55, bilangan ke-5 = 60, bilangan ke-6 = 65, bilangan ke-7 = 70, bilangan ke-8
= 75 dan bilangan ke-9 = 80. Karena N = 9, sedang rumus bilangan gasal adalah:
N = 2n +1, maka 9 = 2n + 1
9 = 2n + 1
9 – 1 = 2n
n = 4
dengan demikian nilai yang merupakan
nilai rata-rata pertengahan atau median dari nilai hasil ujian lisan tersebut
adalah nilai ( bilangan)
yang ke- ( 4 + 1 ) atau bilangan ke-5, yaitu nilai 60.
(ii) Mencari Nilai Rata-rata Pertengahan untuk Data
Tunggal yang seluruh skor-nya berfrekuensi 1, dan Number of Cases-nya berupa
bilangan genap
Untuk data tunggal dan seluruh skornya
berfrekuensi 1 dan Number of Cases-nya merupakan bilangan genap (yaitu: N=2n),
maka Median atau Nilai Rata-rata Pertengahan data yang demikian itu terletak
antara bilangan yang ke-n dan ke-(n+1).
Contoh : tinggi badan 10 orang calon
yang mengikuti tes seleksi penerimaan calon penerbang, menunjukkan angka
sebagai berikut: 168 162 169 170 164 167 161 166 163 dan 165 cm.
cara mencari Nilai Rata-rata Pertengahan
atau Mediannya sama seperti telah dikemukakan di atas, yaitu pertama-tama
deretan angka itu terlebih dahulu kita atur berderet, mulai dari nilai terendah
sampai nilai tertinggi.
Karena N = 10 (merupakan bilangan
bulat), sedang rumus untuk bilangan bulat adalah : N = 2n, maka : 10 = 2n , n = 5
Jadi Median atau Nilai Rata-rata
Pertengahan dari tinggi badan 10 orang peserta tes seleksi Calon Penerbang itu
terletak antara bilangan ke-5 dann ke (5+1), atau antara bilaangan ke-5 dan
ke-6. Dalam deretan angka-angka di atas, bilangan ke-5 adalah 165, sedang
bilangan ke-6 adalah 166.
Jadi Mdn =
= 165,50
Jika kedua data yang
telah dijadikan contoh di atas kita tuangkan dalam bentuk Tabel Distribusi
Frekuensi dan kemudian kita cari mediannya, lkeadaannya adalah sebagai berikut:
Median Nilai Hasil
Ujian Lisan dari 9 orang mahasiswa
X
|
F
|
80
|
1
|
75
|
1
|
70
|
1
|
65
|
1
|
60
|
1
|
55
|
1
|
50
|
1
|
40
|
1
|
30
|
1
|
Total
|
9 = N
|
Bil. ke-9
Bil. ke-8
Bil. ke-7
Bil. ke-6
Median
Bil. ke-4
Bil. ke-3
Bil. ke-2
Bil.
ke-1
Median
Tinggi Badan 10 orang calon yang mengikuti Tes Calon Penerbang
X
|
F
|
170
|
1
|
169
|
1
|
168
|
1
|
167
|
1
|
166
|
|
165
|
1
|
164
|
1
|
163
|
1
|
162
|
1
|
161
|
1
|
Total
|
10 = N
|
Bil. ke-10
Bil. ke- 9
Bil. ke- 8
Bil. ke- 7
Bil. ke- 6
Bil. ke- 5
Bil. ke- 4
Bil. ke- 3
Bil. ke- 2
Mdn
=
= 165,50
b) Mencari
Nilai Rata-rata Pertengahan untuk Data Tunggal yang sebagian atau seluruh
skornya berfrekuensi lebih dari satu
Apabila Data Tunggal yang akan kita cari
Nilai Rata-rata Pertengahan atau Mediannya, sebagian atau seluruh skornya
berfrekuensi lebih dari satu, sebaiknya kita tidak menggunakan cara seperti
yang telah dikemukakan di atas, melainkan kita gunakan rumus sebagai berikut :
Mdn = L + (
) atau : Mdn = u - (
)
Mdn = Median
L = lower
limit (Batas Bawah Nyata dari skor yang mengandung Median)
fkb = frekuensi kumuulatif
yang terletak di bawah skor yang mengandung median.
fi = frekuensi asli (frekuensi dari skor
yang mengandung median).
N = Number of Cases
u = Upper limit (batas atas nyata dari
skor yang mengandung median).
fka = frekkuensi kumulatif
yang terletak di atas skor yang mengandung median.
Tabel
3.7. Distribusi Frekuensi untuk Mencari Median (Nilai Rata-rata Pertengahan)
Usia dari Sejumlah 50 orang Guru Agama Islam
Nilai (X)
|
Tanda/
Jari-jari
|
F
|
Fkb
|
Fka
|
31
30
29
28
27
26
25
24
23
|
////
////
/////
///// //
///// ///// //
///// ///
/////
///
//
|
4
4
5
7
12
8
5
3
2
|
50 =N
46
42
37
30
18
10
5
2
|
4
8
13
20
32
40
45
48
50 = N
|
Total
|
50 = N
|
-
|
-
|
Selanjutnya kita gunakan rumus yang
kedua untuk mencari Median dari data di atas. Perhatian kita arahkan kepada
kolom 5 Tabel 3.7.
1.
titik pertengahan data terletak pada 1/2N yaitu 1/2 x 50 = 25. Dalam frekuensi
kumulatif yang dihitung dari atas (fka), titik pertengahan data sebesar 25 itu
terkandung pada fkb sebesar 32. Dengan demikian dapat kita ketahui skor yang
mengandung median, yaitu skor 27.
2.
Karena skor yang mengandung Median adalah
27, maka dengan mudah dapat kita ketahui:
a.
batas atas nyata dari skor yang mengandung median yaitu: 27 + 0,50 = 27,50;
atau : u = 27,50.
b.
frekuensi kumulatif yang terletak di atas skor yang mengandung median (fka)
adalah 20; jadi fka = 20.
c.
frekuensi aslinya, atau frekuensi dari skor yang mengandung median adalah = 12;
jadi fi = 12.
3.
Dengan diketahuinya: u, fi, dan fkb, maka dengan mensubstitusikannya ke dalam
rumus kedua, dapat diperoleh mediannya:
Mdn
= u - (
) = 27,50 - (
) = 27,50 +
= 27,50
- 0,147 = 27,083 (dapat dibulatkan menjadi : 27).
2)
Cara Mencari Nilai Rata-rata Pertengahan untuk Data Kelompokan.
Cara menghitung dan
jalan pikiran yang ditempuh untuk menghitung atau mencari Nilai Rata-rata
Pertengahan dari data kelompokkan adalah sama saja dengan apa yang telah
dikemukakan di atas. Letak perbedaannya adalah, jika pada data tunggal kita
tidak perlu memperhitungkan interval class (i), sedangkan pada data kelompokan
kelas interval (i), itu harus ikut diperhitungkan, sehingga rumus di atas tadi
berubah menjadi:
Mdn
= L + (
) Xi dan Mdn = u - (
) Xi
Contoh: Misalkan 100 orang Siswa
Madrasah Tsanawiyah menempuh EBTA dalam bidang studi bahasa arab. Distribusi
frekuensi Nilai mereka adalah sebagai mana tertera pada tabel 3.8 kolom 1dan 2.
Tabel
3.8. Tabel Perhitungan untuk Mencari Median Nilai Hasil EBTA dalam Bahasa Arab
yang Diikuti oleh 100 Orang Siswa Madrasah Tsanawiyah
Interval
Nilai:
|
F
|
Fkb
|
Fka
|
65 – 69
60 – 64
55 – 59
50 – 54
45 – 49
40 – 44
35 – 39
30 – 34
25 – 29
20 – 24
|
6
24
25
15
10
6
5
4
3
2
|
100 = N
94
70
45
30
20
14
9
5
2
|
6
30
55
70
80
86
91
95
98
100 = N
|
Total
|
100 = N
|
-
|
-
|
(a)
Perhitungan Media Data Kelompokan dengan Rumus Pertama.
diketahui
: N = 100 , 1/2N = 50
kelas median 55-59
L =
54,50
fi = 25
fkb = 45
Mdn
= L + (
) X i = 54,50 + (
) x 5 = 54,50 +
x 5 = 54,50 + 1 = 55,50
(b)
Perhitungan Median untuk Data Kelompokan dengan Rumus Kedua.
diketahui
: N = 100, 1/2N = 50
kelas median 55-59
u = 59,50
fi = 25
fka = 30
i = 5
Mdn
= u - (
) X i = 59,50 – (
) x 5 = 59,50 -
= 59,50 – 4 = 55,50 (hasilnya sama)
c.
Penggunaan Nilai Rata-rata Pertengahan (Median)
Menurut Sudijono, Anas (2008:85), nilai
Rata-rata Pertengahan atau Median kita cari atau kita hitung, apabila kita
berhadapan dengan kenyataan seperti disebutkan berikut ini:
1)
Kita tidak memiliki waktu yang cukup luas atau longgar untuk menghitung Nilai
Rata-rata Hitung (Mean)-nya.
2)
Kita tidak ingin memperoleh nilai rata-rata dengan tingkat ketelitian yang
tinggi, melainkan hanya sekedar mengetahui skor atau nilai yang merupakan nilai
pertengahan dari data yang sedang kita teliti.
3)
Distribusi frekuensi data yang sedang kita hadapi bersifat asimetris (tidak
normal).
4)
Data yang sedang kita teliti tidak akan dianalisis secara lebih dalam lagi
dengan menggunakan ukuran statistik lainnya.
3.
Nilai
Rata-rata Ukur
Menurut Sudjana (2002:72), Jika perbandingan
tiap dua data berurutan tetap atau hanya tetap, rata-rata ukur lebih baik
dipakai daripada rata-rata hitung apabila dikehendaki rata-ratanya. Untuk data
bernilai x1, x2, … , xn maka rata-rata ukur U didefinisi sebagai
|
|
Yaitu akar pangkat n
dari produk (x1 . x2 . x3 …. Xn). Contoh
rata-rata ukuruntuku data x1 = 2, x2 = 4, x3 = 8 adalah
U =
= 4
Untuk bilangan-bilangan
bernilai besar, lebih baik digunakan logaritma.Rumus IV (6) menjadi
|
|
Yakni logaritma
rata-rata ukur U sama dengan jumlah logaritma tiap data dibagi oleh banyak
data. Rata-rata ukur U akan didapat dengan jalan mencari kembali logaritmanya.
Contoh : sekedar
menunjukkan penggunaan Rumus IV (7), kita ambil x1 = 2, x2 = 4, dan x3 = 8.
Maka
log 2 = 0,3010; log 4 = 0,6021 dan log 8 = 0,9031.
Log
U =
Log U =
= 0,6021
Sehingga,setelah dicari
kembali dari daftar logaritma, rata-rata ukur U= 4
Untuk fenomena yang
bersifat tumbuh dengan syarat-syarat tertentu, seperti pertumbuhan penduduk,
bakteri dan lain-lain, sering digunakan rumus yang mirip rata-rata ukur ialah
IV (8). . . . . . . . .
.
dengan P0 = keadaan awal atau perubahan
Pt = keadaan
akhir
X = rata-rata
pertumbuhan setiap satuan waktu
t = satuan waktu yang digunakan
contoh : penduduk Indonesia pada akhir tahun
1946 ada 60 juta sedangkan akhir tahun 1956 mencapai 78 juta. Untuk menentukan
rata-rata pertumbuhan penduduk tiap tahun kita pakai rumus IV(8) dengan t = 10, P0 = 60 dan Pt
= 78.
Maka didapat
Atau log
78 = log 60 + 10 log(1 +
)
Atau 1,8921 = 1,7782 +
(10) log (1 +
)
Laju rata-rata
pertumbuhan = 2,67% tiap tahun
Untuk data yang telah disusun dalam
daftar distribusi frekuensi si rata-rata ukurnya dihitung dengan rumus :
|
Log U =
|
Dengan xi seperti biasa
menyatakan tanda kelas, fi = frekuensi yang sesuai dengan xi dan harga
rata-rata ukur U dicari kembali dari log U.
Contoh : Untuk data
dalam Daftar III(1) tentang nilai ujian 80 mahasiswa, kita bentuk tabel
berikut.
NILAI UJIAN
|
Fi
|
Xi
|
Log xi
|
Fi log xi
|
(1)
|
(2)
|
(3)
|
(4)
|
(5)
|
31-40
41-50
51-60
61-70
71-80
81-90
91-100
|
1
2
5
15
25
20
12
|
35,5
45,5
55,5
65,5
75,5
85,5
95,5
|
1,5502
1,6580
1,7443
1,8162
1,8779
1,9320
1,9800
|
1,5502
3,3160
8,7215
27,2430
46,9475
38,6400
23,7600
|
Jumlah
|
80
|
-
|
-
|
150,1782
|
Kolom (3) adalah tanda
kelas, kolom (4) merupakan logaritma dari kolom (3) dan kolom (5) menyatakan
hasil kali antara kolom (2) dan kolom (4). Didapat
dan
Log U =
= 1,8772
Yang menghasilkan U =
75,37.
Nilai ujian itu
mempunyai rata-rata ukur 75,37.
4.
Nilai
Rata-rata Harmonis
1. Rata-rata
harmonis sederhana
Menurut Dajan,
Anto (1986:158), Bila distribusi
memiliki nilai-nilai observasi yang positif
,
, ….,
sejumlah n, rata-rata harmonis serangkaian
nilai-nilai observasinya diatas ialah n dibagi dengan hasil penjumlahan dari
seluruh
dan dapat dirumuskan sebagai :
Rata-rata harmonis
diatas sebetulnya juga digunakan bagi pengrata-rataan rasio dalam arti yang
khusus. Nilai pertukaran umumnya merupakan rasio yang dapat dinyatakan sebagai
X/Y atau Y/X. Contoh, bila 3 buah buku dapat ditukar dengan Rp 9000,-, maka
kita dapat menganggap harga buku sebagai 9.000/3 per buah atau 3/9.000 buah per
rupiah. Bila kita menganggap unit penyebut rasio diatas tetap sedangkan
pembilangnya dapat bervariasi, maka rata-rata hitung merupakan pengukuran
rata-rata yang tepat. Sebaliknya, bila kita menganggap unit pembilangnya tetap
sedangkan penyebutnya dapat bervariasi, maka penggunaan rata-rata harmonis akan
lebih tepat. Secara teoritis, pengrata-rataan rasio
dimana i = 1, 2, …, k sedangkan rata-ratanya
ialah
Bila unit Y dianggap
tetap dan perumusan
diatas dapat ditulis dengan menggunakan
penyebut
, maka
. Alhasil rasio rata-rata hitung
menjadi
Sebaliknya, bila kita
anggap unit X yang tetap,
dan semua
adalah sama dengan
, maka rata-rata harmonis rasionya
menjadi
2. Rata-rata
harmonis tertimbang
Rata-rata harmonis yang
tertimbang dapat dirumuskan sebagai
atau
Dimana
timbangan
5. Modus
(Mode)
a. Pengertian
Modus
Menurut Sudijono, Anas (2008:105), modus
umunya dilambangkan dengan Mo. Modus tidak lain adalah suatu skor atau nilai
yang mempunyai frekuensi paling banyak; dengan kata lain, skor atau nilai yang
memiliki frekuensi maksimal dalam distribusi data.
b. Cara Mencari Modus
1) Cara Mencari Modus untuk Data Tunggal
Mencari
modus untuk data tunggal dapat dilakukan dengan mudah dan cepat; yaitu hanya
dengan memeriksa (mencari) mana di antara skor yang ada, yang memiliki
frekuensi terbanyak. Skor atau nilai yang memiliki frekuensi terbanyak itulah
yang kita sebut Modus.
Contoh: Misalkan
data tentang data 50 orang Guru Matematika yang tercantum pada tabel 3.7 dapat
kita cari Modusnya sebagai berikut:
Tabel3.9.
Tabel Distribusi Frekuensi untuk Mencari Modus dari Data yang Tertera Pada
Tabel 3.7.
Usia (x)
|
F
|
31
30
29
28
Mo (27)
26
25
24
23
|
4
4
5
7
(12)= f maksimal
8
5
3
2
|
Total
|
50=N
|
Modus
untuk data di atas adalah usia 27 tahun. Mengapa demikian? Sebab dari sejumlah
50 orang Guru Matematika tersebut, yang paling banyak adalah berusia 27 tahun.
2)
Cara Mencari Modus untuk Data Kelompok
Untuk
mencari Modus dari Data Kelompok, digunakan rumus sebagai berikut:
Mo
= L + (
)Xi atau : Mo = u - (
)Xi
Mo
= Modus
L
= lower limit (Batas Bawah Nyata dari
interval yang mengandung modus).
fa
= frekuensi yang terletak di atas interval yang mengandung Modus.
fb
= frekuensi yang terletak di bawah interval yang mengandung Modus.
u
= upper limit (Batas Atas Nyata dari Interval yang mengandung Modus).
i
= interval class (kelas interval)
Menurut
Sudijono, Anas (2008:107).
Contoh
: Nilai yang berhasil dicapai oleh 40 orang mahasiswa dalam mata kuliah Ilmu
Perbandingan Agama adalah sebagai berikut:
TABEL
3.10. Nilai Hasil Ujian Semester Mata Kuliah Ilmu Perbandingan Agama dari 40
Orang Mahasiswa
Interval Nilai
:
|
F
|
85-89
80-84
75-79
70-74
65-69
(60-64)
55-59
50-54
45-49
40-44
35-39
|
2
2
3
4
5----àfa
(10) ---àfmax
5----àfb
4
3
2
1
|
Total
|
40 = N
|
Dari Tabel 3.10 dapat
kita ketahui, interval nilai yang mengandung Modus adalah interval 60-64,
karena interval nilai tersebutlah yang memiliki frekuensi paling banyak. Dengan
diketahuinya interval yang mengandung Modus, maka berturut-turut dapat kita
ketahui: lower limitnya (L)
= 59,50; upper limitnya (u) = 64,50; fa = 5; dan fb = 5.
Adapun i = 5.
Dengan mensubstitusikan ke dalam rumus pertama dan rumus
kedua, maka dengan mudah dapat kita ketahui Modus dari data tersebut:
Rumus Pertama:
Mo = L + (
)Xi = 59,50 + (
) X 5 = 59,50 + 2,50 = 62
Rumus Kedua :
Mo
= u - (
)Xi = 64,50 - (
)X 5 = 64,50 -
= 64,50 – 2,50 = 62 (hasilnya sama).
C.
Penggunaan Modus
Mencari
Modus kita lakukan apabila kita berhadapan dengan kenyataan sebagai berikut:
1)
Kita ingin memperoleh nilai yang menunjukkan aturan rata-rata dalam waktu yang
paling singkat.
2)
Dalam mencari nilai yang menunjukkan ukuran rata-rata itu kita meniadakan
faktor ketelitian, artinya: ukuran rata-rata itu kita kehendaki hanya bersifat
kasar saja.
3)
Dari data yang sedang kita teliti (kita cari Modusya) kita hanya ingin
mengetahui ciri khasnya saja.
Latihan Soal !
1. Sebutkan pengertian Mean ?
2. Sebutkan pengertian dari Median ?
3. Sebutkan pengertian dari Modus ?
C. SIFAT-SIFAT NILAI
HITUNG
Ukuran pemusatan
dalam statistic digunakan untuk melihat kecenderungan berkumpulnya data pada
nilai-nilai tertentu. Nilai-nilai tersebut disebut dengan nilai pusat. Nilai
pusat ini dapat digunakan untuk semua skala pengukuran. Pembagian nilai pusat
berdasarkan skala pengukurannya adalah sebagai berikut :
1.
Mean
Mean dari
sekumpulan data adalah jumlah seluruh data dibagi banyaknya data. Dalam
perhitungan data perhitungan mean dibagi menjadi dua yaitu perhitungan data
berkelompok/ bergolong dan perhitungan data tak berkelompok / tunggal.
Perhitungan data mean juga berbeda antara data tak berkelompok / tunggal dan
data berkelompok / bergolong.
o
Mean Data Tunggal
Perhitungan
rata-rata untuk data tunggal menggunakan rumus sebagai berikut :
Keterangan :
X : Rata-rata
(mean) variabel X
ΣXi : Penjumlahan
unsur pada variabel X
n : Jumlah
subjek
o
Mean Data Berkelompok
Perhitungan
rata-rata untuk data berkelompok menggunakan rumus sebagai berikut :
Keterangan :
X : Rata-rata
(mean) variabel X
Xi : Nilai-nilai
pengamatan yang diwakili dengan nilai titik tengah kelas
fi : Frekuensi relatif
tiap kelas interval
n : Jumlah
subjek
2.
Modus
Modus adalah data
yang paling sering muncul atau frekuensinya paling tinggi. Pengertian lain
adalah nilai data yang sering muncul (mempunyai frekuensi terbesar). Modus
dapat ada ataupun tidak ada. Kalaupun ada dapat lebih dari satu. Modus dapat
dibatasi sebagai nilai yang sering muncul atau suatu kelompok nilai yang
memiliki frekuensi relatif terbesar. Perhitungan modus juga berbeda antara data
tak berkelompok / tunggal dan data berkelompok / bergolong. Modus adalah nilai
atau fenomena yang paling sering muncul jika datanya telah disusun dalam
distribusi frekuensi .
3.
Median
Median adalah nilai
yang terletak di tengah dari data yang terurut. Jika banyak data ganjil, median
adalah nilai paling tengah dari data yang sudah diurutkan. Jika banyak data
genap, median adalah mean dari dua bilangan yang di tengah setelah data
diurutkan.
Median adalah nilai tengah setelah data terurut naik. Pengeritan lain adalah nilai tengah dari data yang telah diurutkan menurut besarnya. Dengan ketentuan: Jika banyak data ganjil, maka median adalah nilai tengah dari data yang telah diurutkan. Perhitungan median juga menggunakan teknik yang berbeda antara data tak berkelompok/ tunggal dengan data berkelompok atau bergolong.
Median adalah nilai tengah setelah data terurut naik. Pengeritan lain adalah nilai tengah dari data yang telah diurutkan menurut besarnya. Dengan ketentuan: Jika banyak data ganjil, maka median adalah nilai tengah dari data yang telah diurutkan. Perhitungan median juga menggunakan teknik yang berbeda antara data tak berkelompok/ tunggal dengan data berkelompok atau bergolong.
Latihan Soal !
1. Sebutkan sifat mean
?
2. Sebutkan sifat
median ?
3. Sebutkan sifat
modus ?
D.
HUBUNGAN RATA-RATA HITUNG
Menurut
Sudijono, Anas (2008:109), dalam keadaan khusus , yaitu dalam keadaan
distribusi frekuensi data yang kita selidiki bersifat normal (simetris), maka
akan kita temui keadaan sebagai berikut:
a.
Mean=Median=Modus
b.
Modus=3 Median – 2 Mean.
Perhatikanlah
contoh berikut ini:
Interval Nilai
|
F
|
X
|
X’
|
Fx’
|
fkb
|
fka
|
70-74
65-69
60-64
55-59
50-54
45-49
40-44
35-39
30-34
|
2
4
9
10
14
10
9
4
2 |
72
67
62
57
(52)M1
47
42
37
32
|
+ 4
+ 3
+ 2
+ 1
0
- 1
- 2
- 3
- 4
|
+ 8
+ 12
+ 18
+ 10
0
+ 10
+ 18
+ 12
+ 8
|
64 = N
62
58
49
39
25
15
6
2
|
2
6
15
25
39
49
58
62
64 = N
|
Total
|
64 = N
|
-
|
-
|
0 =
|
-
|
-
|
Dengan
memperhatikan distribusi frekuensi dari
data yang disajikan di atas ini kita tahu bahhwa data tersebut di atas memiliki
distribusi frekuensi yang bersifat simetris. Jika data tersebut kita hitung
Mean, Median dan Modusnya, maka baik Mean, Median maupun Modus akan berada pada
satu titik, dengan kata lain:
Mean
= Median = Modus.
M
= M’ + i (
) = 52 + (
) = 52 + 0 = 52
Mdn
= L + (
) X i = 49,50 + (
) X 5 = 49,50 + 2,50 = 52
Mdn
= u - (
) X i = 54,50 – (
) X 5 = 54,50 – 2,50 = 52
Mo
= L + (
)X i = 49,50 + (
) X 5 = 49,50 + 2,50 = 52
Mo
= u - (
)X i = 54,50 + (
) X 5 = 54,50 + 2,50 = 52
Modus
= 3 Mdn – 2 M = (3 x 52) – (2 x 52) = 156 – 104 = 52
Latihan Soal !
1.
Sebutkan hubungan
rata-rata hitung mean ?
2.
Sebutkan rata-rata
hitung median ?
3.
Sebutkan rata-rata
hitung modus ?
4.
E.
KUARTIL, DESIL, PERSENTIL
Jika sekumpulan data dibagi menjadi
empat bagian yang sama banyak, sesudah disusun menurut urutan nilainya , maka
bilangan membaginya disebut kuartil. Ada tiga buah kuartil, ialah kuartil
pertama, kuartil kedua, kuartil ketiga yang masing-masing disingkat Q1
, Q2, dan Q3 . pemberian nama ini, dimulai dari nilai
kuartil paling kecil. Untuk menentukan nilai kuartil caranya adalah :
1. Susun
data menurut urutannya
2. Tentukan
letak kuartil
3. Menentukan
nilai kuartil
Letak kuartil ke-i diberi lambing K1
, ditentukan oleh rumus :
Letak Ki= data ke
Dengan i=1,2,3
Contoh : sampel dengan data 75,82,
66,57, 64,56, 92,94, 86,52,60,70. Setelah disusun menjadi
52,56,57,60,64,66,70,75,82,86,92,94.
Letak K1= data ke
= data ke 3
, yaitu antara data ke -3 dan data ke-4
Nilai K1= data ke-3 +
(data ke-4 – data ke-3)]
K1= 57 +
(60 – 57) = 57
Letak K3= data ke
= data ke 9
K3= data ke-9 +
(data ke-10 – data ke-9)
K3 =82 +
(86-82) =85
Untuk data yang telah disusun dalam
daftar distribusi frekuensi, Kuartil dihitung dengan rumus :
Qi = b + p (
)
Dengan i = 1,2,3
Dengan b = batas bawah kelas Ki
, ialah kelas interval dimana Ki terletak
P
= panjang kelas Ki
F = jumlah frekuensi
dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda kelas Ki
F = frekuensi kelas Ki
Kembali pada hasil ujian 80 mahasiswa
seperti dalam tabel di bawah ini , maka untuk menentukan kuartil ketiga ,
x 80 = 60 data . b = 80.5 ;p=10; f=20; F=48. Dengan i=3 dan n=80 maka
K3 = 80.5 + 10(
)
K3 = 86.5
Tabel hasil ujian 80 mahasiswa
Nilai
Ujian
|
fi
|
31-40
41-50
51-60
61-70
71-80
81-90
91-100
|
1
2
5
15
25
20
12
|
Jumlah
|
80
|
Ini berarti ada 75% mahasiswa yang
mendapat nilai ujian paling tinggi 86.5 sedangkan 25% lagi mendapat nilai paling rendah.
Jika kumpilan data itu dibagi menjadi 10
bagian yang sama maka didapat Sembilan pembagi dan setiap pembagi dinamakan
desil. Kerananya ada sembilan buah desil, ialah desil pertama, desil kedua,….,
desil kesembilan yang disingkat dengan d1,, d2,…,d9
. desil-desil ini dapat ditentukan dengan jalan :
1. Susun
data menurut susunan nilainya
2. Tentukan
letak desil
3. Tentukan
nilai desil
Letak desilke-I diberi lambing di
, ditentukan oleh rumus :
Letak d1 = data ke
Dengan i=1,2,…,9
Contoh : untuk data yang disusun dalam
contoh terdahulu, ialah : 52,56,57,60,64,66,70,75,82,86,92,94, maka letak d7 = data ke
= data ke-9,1
Nilai d7 = data ke-9 + (0,1)
(data ke-10 – data ke-9)
d7 = 82 + (0,1)(86-82)
= 82,4
untuk data dalam distribusi frekuensi
di
= b + p (
)
dengan i=1,2,…,9
dengan b = batas bawah kelas di
, ialah kelas interval dimana di akan terletak
P
= panjang kelas di
F = jumlah frekuensi
dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda kelas di
F = frekuensi kelas di
Jika diminta d3 unuk 80 nilai
ujian statistika, maka kita perlu 30% x 80 = 24 data. b=60.5; p=10; f=15; F=8
.dengan i=3 dan n=80, maka didapat
d3 = 60.5 + 10(
)
d3 = 71,2
Jika sekumpulan data tersebut dibagi
menjadi 100 bagian yang sama akan menghasilkan 99 pembagi yang dinamakan
persentil yang dilambangkan dengan P.
Letak Persentil Pi untuk sekumpulan
data ditentukandengan rumus :
Pi = data ke
dengan i=1,2,…,99
sedangkan nilai Pi untuk data
dalam daftar distribusi frekuensi dihitung dengan :
Pi
= b + p (
)
dengan i=1,2,…,99
dengan b = batas bawah kelas Pi
, ialah kelas interval dimana Pi terletak
P
= panjang kelas Pi
F = jumlah frekuensi
dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda kelas Pi
f = frekuensi kelas Pi
Latihan Soal !
1.
Sebutkan pengertian
desil ?
2.
Sebutkan pengrtian
persentil ?
3. Sebutkan pengertian kuartil ?
Latihan Soal !
- Menghitung Rata-Rata Hitung ?
- Mencari Rata – Rata ukur ?
- Mencari Rata-Rata Harmonis ?
- Mencari Rata-Rata Tertimbang ?
- Menghitung Median Ganjil ?
- Menghitung Median Genap ?
- Mencari Modus ?
- Mencari Kuartil 1, 2 dan 3 ?
- Mencari Persentil Ke 30 ?
- Mencari Desil ke 6 ?
F.
PENUTUP
1.
Kesimpulan
Salah-satu tugas statistik sebagai ilmu
pengetahuan adalah meyajikan atau mendeskripsikan data angka yang telah
dikumpulkan menjadi gambaran yang jelas dan mudah dipahami.
Agar penyajian kumpulan data lebih mudah
dipahami,statistika menyediakan metode penyusunan data dalam bentuk ukuran data
pusat. Padahal informasi yang kita dapatkan dari data akan lebih mudah dipahami
agar dapat diwakili oleh satu nilai saja.Untuk itu diperlukan nilai yang dapat
mewakili data yang terkumpul (dapat menggambarkan tendensi lokasi himpunan
data).
Dalam
statistika dikenal beberapa macam ukuran nilai pusat. Yang paling banyak
digunakan adalah rata-rata hitung (Arithmatic
mean),Median,Modus,Rata-rata tertimbang,rata-rata ukur,dan lain-lain.
DAFTAR
PUSTAKA
Sudijono, Anas. 2009. Pengantar
Statistik Pendidikan. Jakarta :PT Raja Grafindo Persada
Sudjana. 2002.Metoda Statistika.Bandung : TARSITO
Harahap,
B. dan ST. Negoro.1998. Ensiklopedia Matematika. Ghalia Indonesia
Dajan,
Anto.1986. Pengantar Metode Statistik
Jilid I. Jakarta :LP3ES
0 Response to "Ukuran Nilai Pusat"
Post a Comment